Рассмотрим на примере скачивания картинки по ее URL.

С помощью функции PHP file_get_contents() и file_put_contents():

$url = 'https://www.google.com.ua/logos/doodles/2016/earth-day-2016-5741289212477440.4-5728116278296576-ror.jpg';
$path = $_SERVER['DOCUMENT_ROOT'] . '/images/my-img.jpg';
file_put_contents($path, file_get_contents($url));

Пример с использованием с cURL:

$ch = curl_init('https://www.google.com.ua/logos/doodles/2016/earth-day-2016-5741289212477440.4-5728116278296576-ror.jpg');
$fp = fopen($_SERVER['DOCUMENT_ROOT'] . '/images/my-img.jpg', 'wb');
curl_setopt($ch, CURLOPT_FILE, $fp);
curl_setopt($ch, CURLOPT_HEADER, 0);
curl_exec($ch);
curl_close($ch);
fclose($fp);